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目次

  1. データを眺める
  2. モデル1：単回帰分析
  3. モデル2：2次式を加える
  4. モデル3：3次式を加える
  5. モデル4：sinカーブを加える
  6. モデル5：cosカーブを加える

線形回帰モデル

モデル3：3次式を加える

モデル

前のページでは2次式で回帰式を求めた．ここではさらに項を加えた3次式

\begin{equation} y = w_0 + w_1x + w_2 x^2 + w_3 x^3 \end{equation}
で回帰式を求めてみよう．

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関数を定義する

まず，必要なライブラリを読み込んだ後に回帰式と残差2乗和を取得する関数を定義する．回帰式（15行目）に3次の項が増えただけである． 

import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.optimize as optimize # 最適化
import matplotlib.pyplot as plt

# 高解像度ディスプレイ用
from IPython.display import set_matplotlib_formats
# from matplotlib_inline.backend_inline import set_matplotlib_formats # バージョンによってはこちらを有効に
set_matplotlib_formats('retina')

"""
関数の定義
"""
def my_func(w, x):
    y = w[0] + w[1] * x + w[2] * x ** 2 + w[3] * x ** 3
    return y

"""
残差2乗和を求める関数
Residual Sum-of-Squares
"""
def get_rss(w, x, y):
    y_pred = my_func(w, x)
    error = (y - y_pred)**2
    return np.sum(error)

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CSVファイルを開いて最適化を行う

1次式や2次式の場合とほぼ同じ方法で最適化を行うことができる．僅かな違いは推定するパラメータ数が4に変化したことである． 

# CSV ファイルを読み込む
url = "https://github.com/rinsaka/sample-data-sets/blob/master/lr.csv?raw=true"
df = pd.read_csv(url)

# NumPy 配列に変換する
x_data = df.loc[:, 'x'].values
y_data = df.loc[:, 'y'].values

# ネルダーミード法による最適化を行う
w = np.array([0.1, 0.1, 0.1, 0.1]) # 初期値を設定
results_nm = optimize.minimize(get_rss, w, args=(x_data, y_data), method='Nelder-Mead')
print(results_nm)

 final_simplex: (array([[ 1.36047925,  3.18744739, -0.57981438,  0.02415969],
       [ 1.3605272 ,  3.1873661 , -0.57979383,  0.02415829],
       [ 1.36046164,  3.18742938, -0.57980545,  0.02415883],
       [ 1.36041651,  3.18746626, -0.57981562,  0.02415965],
       [ 1.36049654,  3.18745606, -0.57981861,  0.02416001]]), array([143.93440151, 143.93440151, 143.93440152, 143.93440152,
       143.93440153]))
       fun: 143.93440151132944
       message: 'Optimization terminated successfully.'
          nfev: 757
           nit: 453
        status: 0
       success: True
             x: array([ 1.36047925,  3.18744739, -0.57981438,  0.02415969])

上の結果を確認すると，目的関数すなわち残差2乗和が 143.93 となり，2次式の 148.92 から改善されたことがわかる．また推定パラメータ数が4に増えたことで，問題が僅かに難しくなったことから，最適化での繰り返し回数 nit (Number of iterations performed by the optimizer) が1次式の 62，2次式の 143 から 453 に増加していることもわかる．

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グラフを描く

最後に回帰式を散布図に重ねて描いてみる．下のコードは1次式や2次式の場合から変更の必要はありません． 

# 最適解を使って回帰直線のデータを作成する
x_plot = np.linspace(0, 10, 100)
y_pred = my_func(results_nm["x"], x_plot)

# グラフを描く
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(6, 4))
ax.scatter(x_data, y_data, label="data")
ax.plot(x_plot, y_pred, label='model 3')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_xlim(0,10)
ax.set_ylim(0,10)
ax.legend()
# plt.savefig('lr-model3.png', dpi=300, facecolor='white')
plt.show()

lr-model3

比較対象として，2次式の場合の結果も示しておきます． 

  lr-model2

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