目次
Python で統計学
カイ2乗分布
推定や仮説検定で重要になるカイ2乗分布の密度関数は， \begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{n/2-1}e^{-x/2}, \quad x > 0 \end{eqnarray*} です．ここで \(n~(=1,2,\cdots)\) は自由度です．つまりデータサイズが \(n+1\) のときに，自由度が \(n\) になります．さらに，\(\Gamma(\alpha)\) はガンマ関数であり， \begin{eqnarray*} \Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha - 1}e^{-x}dx, \quad \alpha > 0 \end{eqnarray*} で定義されます．カイ2乗分布の平均は \(n\) であり，分散は \(2n\) です．
カイ2乗分布に関する重要な定理として次のようなものが知られています．
- 定理
- 標準正規分布 \(\mathcal{N}\left(0, 1\right)\) に従う確率変数列 \(Z_1, Z_2, \cdots, Z_n\) が独立ならば，\(X_n = Z_1^2 + \cdots + Z_n^2\) は自由度 \(n\) のカイ2乗分布に従う．
ライブラリのインポート
Python でカイ2乗分布を利用するためには Scipy ライブラリをインポートすると良いでしょう．
import numpy as np
from scipy.stats import chi2
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.display import set_matplotlib_formats
# from matplotlib_inline.backend_inline import set_matplotlib_formats # バージョンによってはこちらを有効に
set_matplotlib_formats('retina')
確率密度関数
確率密度関数の値を取得するには chi2.pdf(x, df) を使用すると良いでしょう．例えば，自由度 5 のカイ2乗分布について，いくつか密度関数の値を計算してみよう．
chi2.pdf(x = 0, df = 5)
0.0
chi2.pdf(x = 1, df = 5)
0.0806569081730478
chi2.pdf(x = 2, df = 5)
0.1383691658068649
自由度 5 の確率密度関数をプロットしてみよう．
# 横軸用のnumpy配列を準備
x_step = 0.05
x_min = 0
x_max = x_step + 12
x = np.arange(x_min, x_max, x_step)
# 自由度5のカイ2乗分布を計算
y5 = chi2.pdf(x, 5)
# グラフを描く
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(6, 4))
ax.plot(x, y5)
ax.set_xlim(x_min, x_max)
ax.set_ylim(0, 0.2)
ax.set_xticks(np.arange(0, 13, 2))
ax.set_yticks(np.arange(0.0, 0.25, 0.05))
ax.grid()
# plt.savefig('stat-chi2-5.png', dpi=300, facecolor='white')
plt.show()
様々な自由度でカイ2乗分布がどのような形状になるのかを確かめてみよう．
# 自由度1-4のカイ2乗分布を計算
y1 = chi2.pdf(x, 1)
y2 = chi2.pdf(x, 2)
y3 = chi2.pdf(x, 3)
y4 = chi2.pdf(x, 4)
# グラフを描く
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(6, 4))
ax.plot(x, y1, label="n=1")
ax.plot(x, y2, label="n=2")
ax.plot(x, y3, label="n=3")
ax.plot(x, y4, label="n=4")
ax.plot(x, y5, label="n=5")
ax.legend() # 凡例を表示
ax.set_xlim(x_min, x_max)
ax.set_ylim(0, 0.6)
ax.set_xticks(np.arange(0, 13, 2))
ax.set_yticks(np.arange(0.0, 0.7, 0.1))
ax.grid()
# plt.savefig('stat-chi2-12345.png', dpi=300, facecolor='white')
plt.show()
上側 \(\alpha\) 点
統計学テキストの付録によく掲載されている自由度 \(n\) のカイ2乗分布の上側 \(\alpha\) 点の値を求めていみよう．この 上側 \(\alpha\) 点の値は下図の面積がちょうど \(\alpha\) になるような横軸の値 \(\chi_{n}^{2}(\alpha)\) を意味します．
上側 \(\alpha\) 点は chi2.isf(q, df) で求めることができます．例えばテキストの表にある「\(\alpha = 0.05\) の列」と「\(n = 5\) の行」にある「11.0705」という値は次のように求めることができます．
chi2.isf(q = 0.050, df = 5)
11.070497693516355