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目次

  1. NumPy とは
  2. Python リストの場合
  3. NumPy の使用例
  4. NumPy で線形代数
    1. 行列式
    2. 単位行列
    3. 逆行列
    4. 行列の階数
    5. 固有値
    6. 固有値の応用例：PageRank
    7. ノルム（L1ノルムとL2ノルム）
  5. NumPy の乱数生成

NumPy

NumPy で線形代数

線形代数で用いられる行列の演算は numpy の linalg (Linear Algebra) を使うと良いでしょう．

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行列式

行列 \(A\) の行列式 \(|A|\) はたすきがけの原理で次のように定義されます．

\begin{equation} A = \left[ \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right] \end{equation}
\begin{eqnarray} |A| &=& a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{32}a_{21}\\ & & - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{21}a_{12}a_{33} \end{eqnarray}

例えば次のような行列 \(A\) の行列式は \(|A| = 3\) となります．

\begin{equation} A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -3 & 4\\ -2 & -1 & 1 \end{array} \right] \end{equation}
\begin{eqnarray} |A| &=& \left(1 \times(-3) \times 1\right) + \left( (-2) \times 4 \times (-2)\right) + \left(3 \times (-1) \times 2\right)\\ & & - \left((-2) \times (-3) \times 3 \right) - \left(1 \times 4 \times (-1) \right) - \left(2 \times (-2) \times 1 \right) \\ &=& -3 + 16 - 6 - 18 + 4 + 4 \\ &=& -3 \end{eqnarray}

行列式を NumPy で計算するには np.linalg.detを利用すると良いでしょう．なお，行列式は英語では determinant です． 

行列式
import numpy as np # プログラムの先頭でモジュールを読み込む
A = np.array([[1, -2, 3], [2, -3, 4],[-2, -1, 1]])
print(A)
det = np.linalg.det(A)
print(det)
[[ 1 -2  3]
 [ 2 -3  4]
 [-2 -1  1]]
-2.9999999999999996

なお，行列式の性質の一つに転置不変性があります．これは，行列を転置しても行列式は変化しないというものです．実際に確認してみよう． 

転置した行列についての行列式
B = np.transpose(A)
print(B)
det = np.linalg.det(B)
print(det)
[[ 1  2 -2]
 [-2 -3 -1]
 [ 3  4  1]]
-3.0000000000000018

行列式のもう一つの性質は交代性です．これは行（または列）を入れ替えると行列式は -1 倍されるというものです．これも確認してみよう． 

1行目と2行目を入れ替えた行列の行列式
C = np.array([[2, -3, 4],[1, -2, 3], [-2, -1, 1]])
print(C)
det = np.linalg.det(C)
print(det)
[[ 2 -3  4]
 [ 1 -2  3]
 [-2 -1  1]]
2.9999999999999996

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