正方行列 \(A\) に対して，\(AX = E\) となるような正方行列 \(X\) が存在するとき，正方行列 \(A\) は正則であるといい，\(X\) を \(A\) の逆行列 (inverse matrix)という．また，正方行列 \(A\) が正則であるための必要十分条件は \(|A| \neq 0\) である．逆行列は np.linalg.inv() を用いると良い．なお，\(|A|\) は正方行列 \(A\) の行列式である．
3次元単位行列import numpy as np # プログラムの先頭でモジュールを読み込む
A = np.array([[2, 0, 1], [-1, 1, 0],[-2, 3, 4]])
print(A)
inv = np.linalg.inv(A)
print(inv)
[[ 2 0 1] [-1 1 0] [-2 3 4]] [[ 0.57142857 0.42857143 -0.14285714] [ 0.57142857 1.42857143 -0.14285714] [-0.14285714 -0.85714286 0.28571429]]
実際に \(AX = E\) となることを確認しておこう．
逆行列の確認print(np.dot(A, inv))
[[ 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 1.11022302e-16 1.00000000e+00 -5.55111512e-17] [ 0.00000000e+00 4.44089210e-16 1.00000000e+00]]
なお，上の結果で 1.00000000e+00 は \(1.0 \times 10^0 = 1.0\) を意味し，1.11022302e-16 は \(1.11022302 \times 10^{-16} = 0.000000000000000111022302 \approx 0.0 \) を意味することに注意しよう．つまり結果は単位行列になっている．さらに，この正方行列 \(A\) の行列式を求めると \(|A| \neq 0\) なることも確認できる．
行列式の確認det = np.linalg.det(A)
print(det)
6.999999999999998
もちろん逆行列が存在しない行列もある．次のような行列は行列式が0となるので，正則ではなく，逆行列を計算できない．
行列式の確認A = np.array([[2, 0, 1], [2, 0, 1],[-2, 3, 4]])
print(A)
det = np.linalg.det(A)
print(det)
inv = np.linalg.inv(A)
print(inv)
[[ 2 0 1] [ 2 0 1] [-2 3 4]] 0.0 ------------------------------------------------ LinAlgError Traceback (most recent call last) （以下のエラーメッセージは省略）